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根号2是不是无理数

作者：烟栀发布时间：2022-06-28浏览：478

　　根号2是无理数。证明根号2是无理数：如果√2是有理数，必有√2=p/q(p、q为互质的正整数)，两边平方：2=p^/q^，p^=2q^。显然p为偶数，设p=2k(k为正整数)，有：4k^=2q^,q^=2k^;显然q业为偶数，与p、q互质矛盾，所以假设不成立，√2是无理数。

　　什么是无理数

　　无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

　　如何证明根号2是不是无理数

　　假设√2不是无理数，那它是有理数，

　　所以它可以表示成√2=p/q，其中p和q为互质的正整数，

　　所以2=p^2/q^2，所以p^2=2*q^2，

　　所以2能整除p^2，所以p^2是偶数，所以p是偶数，设p=2r，r是整数，

　　所以p^2=4*r^2=2*q^2，所以2*r^2=q^2，

　　所以2能整除q^2，所以q^2是偶数，所以q是偶数，

　　p、q都是偶数，与p和q互质矛盾，

　　所以假设错误，容所以√2是无理数。

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